新编文档-41利用二分法求方程的**-精品文档

发布于:2021-09-29 02:53:58

利用二分法求方程 的** 复*回顾 如何利用函数性质判定方程解的存 在? 若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续 曲线,并且在区间端点处的函数值符号相 反(f(a)·f(b)<0)则在区间(a,b)内,函数y=f(x) 至少有一个零点,即相应的方程f(x)=0在 (a,b)内至少有一个实数解。 探究新知 知道了方程解存在,我们如何来求这个 方程的解? 如下函数f(x)的图像与直角坐标系中的x轴 有交点(x0,0),知x0是方程f(x)=0的解 在[-1,5]上,f(x)的图像是一条 y 连续的曲线,且f(-1)·f(5)<0 f(x) x0∈[-1,5] 取[-1,5]中点2,f(2)·f(5)<0 x0∈[2,5] 取[2,5]中点3.5....... -1 O x0 12 34 5 x 探究新知 就是每次都取区间的中点,将区间一分 为二,再经比较,按需要留下其中一个 小区间的方法,其实质是不*押 点所在的区间逐步缩小,使区间两个端 点逐步*愕,进而得到函数零点* 似值. 二分法的定义: 对于在区间[a,b]上连续不断,且 f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把 函数f(x)的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步*愕,进而 得到零点*似值的方法,叫做二分法. 例4 求方程2x3+3x-3=0的一个实数解, 精确到0.01. 解 令f(x)=2x3+3x-3 x -1 0 1 2 f(x) -9.5 -3 2 19 观察表可知f(0)·f(1)<0,说明这 个函数在区间[0,1]内有零点x0 取区间(0,1)的中点 x1=0.5 然后用计算器算得 f(0.5)=-1.25 因为 f(0.5)·f(1)<0 所以 x0∈(0.5,1) 再取区间(0.5,1)的中点x1=0.75 然后用计算器算得 f(0.75)=0.09375 因为 f(0.5)·f(0.75)<0, 所以 x0∈(0.5,0.75)....... 如 所 在 区 间 的 列 表 此 就 得 到 方 程 实 数 解 左端点 右端点 第1次 0 2 第2次 0 1 第3次 0.5 1 第4次 0.5 0.75 第5次 0.625 0.75 第6次 0.687 5 0.75 第7次 0.718 75 0.75 第8次 0.734 375 0.75 第9次 0.742 187 5 0.75 第10次 0.742 187 5 0.746 093 75 第11次 0.742 187 5 0.744 140 625 同理可得 x0∈(0.625,0.75),…… x0∈(0.7421875,0.744140625) 由于 |0.7421875-0.744140625| =0.001953125<0.01 此时区间(0.7421875,0.744140625)的两 个端点精确到0.01的*似值都是0.74, 所以原方程精确到0.01的**馕0.74 给定精确度ε,用二分法求函数零点x0的步骤: 1、确定初始区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0 2、求区间[a,b]的中点x1,x1=a1+0.5(b1-a1)=0.5(b1+a1) 3、计算:f(x1) 判断: (1)如果f(x1)=0,则x1就是f(x)的零点,计算终止; (2)如果f(a)f(x1)<0,则令b=x1 (此时零点x0∈(a,x1)中) (3)如果f(a)f(x1)>0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b)中) 4、判断是否达到精确度ε,则若|a–b|<ε,则得到 零点*似值是(a,b)区间内的任一点;否则重复2~ 4步骤. 选定初始区间 程 利 取区间的中点 实用 数十 中点函数 解 分 是 值为零 的法 否 过求 程方 M N 是 否 结束 两端函数值 反号的区间 取新区间,一个端 点是原区间的中 点,另一端点是原 区间两端点中的 一个,新区间两端 点的函数值反号 方程解满足要 求的精确度 练* 借助计算器或计算机用二分法求 方程2x+3x=7的**猓ň返0.1) 解 令f(x)=2x+3x-7 x 0 1 2 3 f(x) -6 -2 3 10 观察表可知f(1)·f(2)<0,说明这 个函数在区间(1,2)内有零点x0 取区间(1,2)的中点 x1=1.5, 然后用计算器算得 f(1.5)≈0.33. 因为 f(1)·f(1.5)<0, 所以 x0∈(1,1.5) 再取区间(1,1.5)的中点 x1=1.25, 然后用计算器算得 f(1.25)≈-0.87. 因为 f(1.25)·f(1.5)<0, 所以 x0∈(1.25,1.5) 区间列表 左端点 右端点 第1次 1 2 第2次 1 1.5 第3次 1.25 1.5 第4次 1.375 1.5 第5次 1.375 1.4375 同理可得 x0∈(1.375,1.5) x0∈(1.375,1.4375) 由于 |1.375-1.4375|=0.0625<0.1 此时区间(1.375,1.4375)的两个端 点精确到0.1的*似值都是1.4,所以 原方程精确到0.1的**馕1.4 二分法不仅仅用于求函数的零点和方程的 根,它在现实生活中也有许多重要的应用, 请解答下面的题目: 在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防 洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条 10km长的线路,如何迅速查出故障所在?如 果沿着线路一小段一小段查找,困难很多. 每查一个点要爬一次电线杆子,10km长,大 约有200多根电线杆子呢.想一想,维修线路 的工人师傅怎样工作最合理? 补充练* 1.函数f(x)=x2+4x+4在区间[-4,-1]上( B ) A.没有零点 C.有两个零点 B.有一个零点 D.有无数

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