辽宁省沈阳市东北育才学校2015-2016学年高二数学上学期第二阶段考试试题 文

发布于:2021-10-23 08:28:46

2015—2016 学年度上学期第二阶段考试高二年级数学科试卷 (文科)
答题时间:120 分钟 满分:150 分 命题人:高二数学备课组 校对人:高二数学备课组 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.命题“存在实数 x ,使 x >1 ”的否定是 A.对任意实数 x ,都有 x >1 C.对任意实数 x ,都有 x ? 1 2. 已知 B.不存在实数 x ,使 x ? 1 D.存在实数 x ,使 x ? 1

1 1 ? ? 0 ,则下列结论不正确的是 a b
2 2

a b ? ?2 D. | a | ? | b |?| a ? b | b a a?b x ) , r ? f (a) f (b) ,则下列关 3.设 f ( x) ? e , 0<a <b ,若 p ? f ( ab ) , q ? f ( 2
A. a ? b B. ab ? b
2

C.

系式中正确的是 A. q ? r ? p B. q ? r ? p
2

C. p ? r ? q

D. p ? r ? q

4.在等比数列 ?an ? 中,若 a4 , a8 是方程 x ? 4 x ? 3 ? 0 的两根,则 a6 的值是 A. ? 3 B. ?3 C. 3 D. ? 3

x2 y 2 5.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的一条渐*线过点 (2, 3) ,且双曲线的一个 a b
焦点在抛物线 y 2 ? 4 7 x 的准线上,则双曲线的方程为

A.

x2 y 2 ? ?1 3 4

B.

x2 y 2 ? ?1 4 3

C.

x2 y 2 ? ?1 21 28

D.

x2 y 2 ? ?1 28 21

6. .函数 f(x)= x x x 的导数是 A.

1
8

x

(x>0)

B.

7 8 x
8

(x>0)

C.

1 88 x 7

(x>0)

D.

?1 88 x

(x>0)

7.若 ?an ? 是等差数列, 首项 a1 ? 0 , 则使前 n 项和 Sn ? 0 a2014 ? a2015 ? 0 , a2014 ? a2015 ? 0 , 成立的最小正整数 n 是 A. 2014 B. 2015 C. 4028 D. 4029

1

8. 已知函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x ) ,且满足 f ( x) ? 2 xf ?(e) ? ln x ,则 f ?(e) ? A.1
2

B. ?1

C. ? e ?1

D. ? e

9.若正数 x , y 满足 x ? 6 xy ? 1 ? 0 ,则 x ? 2 y 的最小值是 A.

2 2 3

B.

2 3

C.

2 3 3

D.

3 3

10.已知 F1 , F2 是两个定点,点 P 是以 F1 和 F2 为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点,且

PF1 ? PF2 ,记 e1 和 e2 分别是上述椭圆和双曲线的离心率,则有
A.

1 1 ? 2 ?4 e12 e2

2 2 B. e1 ? e2 ?4

C.

1 1 ? 2 ?2 e12 e2

2 2 D. e1 ? e2 ?2

f ?( x) ,对 任意 x ? R都有f ?( x) ? f ( x) 成立,则 11. 设函数 f ( x)的导函数为
A. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) C. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) B. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) D. 3 f (ln 2)与2 f (ln 3) 的大小不确 定

2 12.如图,过抛物线 C : y ? 2 px ( p ? 0 )的焦点 F 作直线交 C

于 A 、 B 两点,过 A 、 B 分别向 C 的准线 l 作垂线,垂足为 A 1、 B 1, 已知 ?AA1 F 与 ?BB1 F 的面积分别为 9 和 1,则 ?A 1B 1F 的面积为 A.4 B.6 C.10 D.12

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.抛物线 y =4x2 的准线方程是 .

14. 设 函 数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c) , (a、b 、c

是两两不等的常数) ,则

f ?(b) =



15.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,

an ? an ?1 2 * (n? N ) ,则 an ? ? an an ?1 n(n ? 1)

.

16.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1( a ? 0 , b ? 0 )的左右焦点为 F1 , F2 ,点 P 在双曲线的右支 a 2 b2
.
2

上,且 | PF 1 |? 4 | PF2 | ,则此双曲线的离心率的最大值为

三、解答题:共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分) 已知 p : 1 ?

x ?1 ? 2 , q : x 2 ? 2 x ? 1 ? m 2 ? 0?m ? 0? ; ? p 是 ? q 的必要不充分条件 , 求 3

实数 m 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分) 已知曲线 y ?

1 3 4 x ? , 3 3

(1) 求曲线过点 P(2,4)的切线方程; (2) 求斜率为 4 的曲线的切线方程。

19.(本小题满分 12 分) 已知 ?an ? 是等差数列, ?bn ? 是各项均为正数的等比数列,且 a1 ?b1 ?1 , a2 ?a3 ?2b3 ,

b5 ?3a2 ?7 .
(Ⅰ)求 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ? anbn , n ? N ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn
*

3

20.(本小题满分 12 分) 知函数 f ( x) ?

a 3 a ?1 2 x ? x ? x ? b ,其中 a, b ? R. 3 2

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 P(2, f (2)) 处的切线方程为 y ? 5 x ? 4 ,求函数 f ( x) 的解 析式; (Ⅱ)当 a ? 0 时,讨论函数 f ( x) 的单调性.

21.(本小题满分 12 分) 如图,椭圆 E :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 ( a >b >0 )经过点 A(0, ?1) ,且离心率为 . 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)经过点 (1,1) ,且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同两点 P , Q (均异于点 A ) ,求 直线 AP 与 AQ 的斜率之和.

22.(本小题满分 12 分) 4 x2 2 2 已知圆 O: x ? y ? ,直线 l: y ? kx ? m 与椭圆 C: Q 两点,O 为原点. ? y 2 ? 1 相交于 P、 9 2 (Ⅰ)若直线 l 过椭圆 C 的左焦点,且与圆 O 交于 A、B 两点,且 ?AOB ? 60 ? ,求直线 l 的 方程; (Ⅱ)如图,若 ?POQ 重心恰好在圆上,求 m 的取值范
y P



.
Q

O

x

(第 22 题)

4

2015—2016 学年度上学期第二阶段考试高二年级数学文科答案 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. CDACB BDCAC CB

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.y=1/8 14.(b-a)(b-c) 15.

n 3n ? 2

16.

5 3

三、解答题:共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)

m ? 9.
18.(本小题满分 12 分)

1 3 4 1 4 ,则切线 x ? 与过点 P(2,4)的切线相切于点 A(x0, x03 ? ) 3 3 3 3 1 4 2 2 的 斜 率 k ? y? |x ? x0 ? x0 , ∴ 切 线 方 程 为 y ? ( x03 ? ) = x0 ( x - x0 ) ,即 3 3 2 3 4 2 y ? x0 ?x ? x0 ? 3 3 2 3 4 3 2 ∵ 点 P(2,4) 在 切 线 上 , ∴ 4=2 x0 2 ? ? 3 x0 ?4?0 , ∴ x0 ? , 即 x0 3 3
(1)设曲线 y ?
3 2 2 x0 ? x0 ? 4 x0 ?4 ? 0,

∴(x0+1)(x0-2) =0 解得 x0=-1 或 x0=2 故所求的切线方程为 4x-y-4=0 或 x-y+2 =0. (2)设切点为(x0,y0) 则切线的斜率为 k=x0 =4, x0=±2.切点为(2,4) , (-2,-4/3) ∴切线方程为 y-4=4(x-2)和 y+4/3=4(x+2) 即 4x-y-4=0 和 12x-3y+20=0 19.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d, ?bn ? 的公比为 q,由题意 q ? 0 ,
2

2

5

由已知,有 ?

?2q 2 ? 3d ? 2,
4 ? q ? 3d ? 10,

消去 d 得 q 4 ? 2q 2 ? 8 ? 0,

解得 q ? 2, d ? 2 ,所以 an ? 2n ?1, n ? N? , bn ? 2n?1 , n ? N? (Ⅱ)由(I)有 cn ? ? 2n ?1? 2
n?1

,设 {cn } 的前 n 项和为 Sn ,则

Sn ? 1? 20 ? 3? 21 ? 5 ? 22 ??? ? 2n ?1? ? 2n?1, 2Sn ? 1? 21 ? 3? 22 ? 5? 23 ??? ? 2n ?1? ? 2n ,
两式相减得 ?Sn ? 1 ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? ? 2n ?1? ? 2 ? ? ? 2n ? 3? ? 2 ? 3,
2 3 n n n

所以 Sn ? ? 2n ? 3? 2 ? 3 .
n

20.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ?( x) ? ax ? (a ? 1) x ? 1 ,
2

由导数的几何意义得 f ?(2) ? 5 ,于是 a ? 3 . 由切点 P(2, f (2)) 在直线 y ? 5 x ? 4 上可知 2 ? b ? 6 ,解得 b ? 4 .
3 2 所以函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? x ? 2 x ? x ? 4 .

(Ⅱ) f ?( x) ? ax ? (a ? 1) x ? 1 ? a ( x ? )( x ? 1) ,
2

1 a

当 0 ? a ? 1 时, 在区间 (1,

1 1 ? 1 ,函数 f ( x) 在区间 (? ?, 1) 及 ( , ? ?) 上为增函数; a a

1 ) 上为减函数; a 1 当 a ? 1 时, ? 1 ,函数 f ( x ) 在区间 (? ?, ? ?) 上为增函数; a 1 1 当 a ? 1 时, ? 1 ,函数 f ( x ) 在区间 ( ? ?, ) 及 (1, ? ?) 上为增函数; a a 1 在区间 ( , 1) 上为减函数. a
21.(本小题满分 12 分)

6

解:(I)由题意知

c 2 ? , b ? 1 ,综合 a 2 ? b2 ? c2 ,解得 a ? 2 , a 2

所以,椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 2

(II)由题设知,直 线 PQ 的方程为 y ? k ( x ? 1) ? 1(k ? 2) ,

代入

x2 ? y 2 ? 1 ,得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k (k ? 1) x ? 2k (k ? 2) ? 0 , 2

由已知 ? ? 0 ,设 P ? x1 y1 ? , Q ? x2 y2 ? , x1 x2 ? 0 则 x1 ? x2 ?

4k (k ? 1) 2k ( k ? 2) , x1 x2 ? , 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

从而直线 AP 与 AQ 的斜率之和

k AP ? k AQ ?

y1 ? 1 y2 ? 1 kx1 ? 2 ? k kx2 ? 2 ? k ? ? ? x1 x2 x1 x1

?1 1? x ?x ? 2k ? (2 ? k ) ? ? ? ? 2k ? (2 ? k ) 1 2 x1 x2 ? x1 x2 ?
? 2k ? ? 2 ? k ? 4k (k ? 1) ? 2k ? (2k ? 1) ? 2 . 2k (k ? 2)

22.(本小题满分 12 分) 【答案】

7

8


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