2019版高考数学一轮复* 第四章 *面向量 第3讲 *面向量的数量积配套课件 理

发布于:2021-09-29 04:11:47

第3讲 *面向量的数量积
1

考纲要求

考点分布

考情风向标

1.理解*面向量数 2011年新课标第13题考查*面

量积的含义及其物 向量的垂直运算、单位向量;

理意义.

2012年新课标第15题考查*面

2.了解*面向量的 向量的数量积及其运算法则;

数量积与向量投影 2013年新课标Ⅰ第13题考查*

的关系.

面向量的数量积等运算;

3.掌握数量积的坐 2014年新课标Ⅰ第6题考查*面

标表达式,会进行 向量的运算;

*面向量数量积的 2015年新课标Ⅰ第2题考查*面

运算.

向量的运算;

4.能运用数量积表 2016年新课标Ⅰ第13题考查*

示两个向量的夹角,面向量的垂直;

会用数量积判断两 2017年新课标Ⅱ第4题考查*面

个*面向量的垂直 向量模的计算,新课标Ⅲ第13

关系

题考查*面向量的垂直

从*几年的高考试题来看, *面向量的数量积运算、* 面向量的垂直等问题是高考 的热点,既有选择题、填空 题,又有解答题,属中低档 题目,常与*面几何、三角 函数、解析几何等知识交汇 命题,主要考查运算能力及 数形结合思想.预计2019年 高考仍将以*面向量的数量 积运算、*面向量的垂直为 主要考点,以与三角函数、 解析几何等知识交汇命题为 考向

2

1.两个向量的数量积的定义 已知两个非零向量 a 与 b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积),记作 a·b,即 a·b=|a||b|cos θ.规 定零向量与任一向量的数量积为 0,即 0·a=0. 2.*面向量数量积的几何意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积.
3

3.*面向量数量积的性质 设 a,b 都是非零向量,e 是单位向量,θ为 a 与 b(或 e)的 夹角,则: (1)e·a=a·e=|a|cos θ. (2)a⊥b?a·b=0. (3)当 a 与 b 同向时,a·b=|a||b|; 当 a 与 b__反__向时,a·b=-|a||b|. 特别地,a·a=|a|2,|a|= a·a. (4)cos θ=|aa|·|bb|. (5)|a·b|_≤___|a||b|.
4

4.*面向量数量积的坐标运算 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量a与b的夹角为θ,则 (1)a·b=x1x2+y1y2. (2)|a|= x21+y21. (3)cos〈a,b〉= x21+x1xy122×+y1xy222+y22. (4)a_⊥___b?a·b=0?x1x2+y1y2=0. 5.若 A(x1,y1),B(x2,y2),A→B=a,则 |a|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2(*面内两点间的距离公式).
5

1.(2017 年新课标Ⅲ)已知向量 a=(-2,3),b=(3,m),且 a⊥b,则 m=___2____.
解析:a⊥b?-2×3+3m=0,m=2.
6

2.(2013 年大纲)已知向量 m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若

(m+n)⊥(m-n),则λ=( B )

A.-4

B.-3

C.-2

D.-1

解析:因为 m+n=(2λ+3,3),m-n=(-1,-1),由(m+

n)⊥(m-n),可得(m+n)·(m-n)=(2λ+3,3)·(-1,-1)=-2λ

-6=0.解得λ=-3.

7

3.已知向量 a=(x,y),b=(-1,2),且 a+b=(1,3),则

|a|=( C )

A. 2

B. 3

C. 5

D. 10

4.(2015 年福建)设 a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若 b⊥c,

则实数 k 的值等于( A )

A.-32

B.-53

5 C.3

3 D.2

解析:由已知,得 c=(1,2)+k(1,1)=(k+1,k+2).因为

b⊥c,则 b·c=0.因此 k+1+k+2=0,解得 k=-32.故选 A.

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考点 1 *面向量的数量积

例1:(1)(2014年大纲)已知a,b为单位向量,其夹角为60°,

则(2a-b)·b=( )

A.-1

B.0

C.1

D.2

解析:(2a-b)·b=2a·b-b2=2×|a|×|b|cos〈a,b〉-|b|2

=2×1×1×cos 60°-1=0.故选 B.

答案:B

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(2)如图 4-3-1,已知正六边形 P1P2P3P4P5P6 ,下列向量的数 量积中最大的是( )

A.P→1P2·P→1P3 C.P→1P2·P→1P5

图 4-3-1 B.P→1P2·P→1P4 D.P→1P2·P→1P6

10

解析:设正六边形的边长为 1,则P→1P2·P→1P3=|P→1P2||P→1P3|cos30°





3 2



3 2



P→1P2

·P→1P4



|

P→1P2

||

P→1P4

|cos

60°=



1 2



1



P→1P2·P→1P5=|P→1P2||P→1P5|cos 90°=0,P→1P2·P→1P6=|P→1P2|·|P→1P6|cos 120°

=-12.故选 A.

答案:A

11

(3)(2017 年广东广州一模)已知向量 a=(1,2),b=(x,-1), 若 a∥(a-b),则 a·b=________.
解析:a-b=(1-x,3),因为 a∥(a-b),所以 3-2(1-x) =0,解得 x=-12.所以 a·b=-12-2=-52.
答案:-52
12

考点 2 *面向量的夹角与垂直 例 2:(1)(2017 年新课标Ⅰ)已知向量 a=(-1,2),b=(m,1). 若向量 a+b 与 a 垂直,则 m=__________. 解析:a+b=(m-1,3),因为(a+b)·a=0,所以-(m-1) +2×3=0.解得 m=7. 答案:7 (2)(2016 年新课标Ⅰ)设向量 a=(x,x+1),b=(1,2),且 a ⊥b,则 x=________.
解析:由题意,得 a·b=0,x+2(x+1)=0,解得 x=-23.
答案:-23
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(3)(2016 年新课标Ⅲ)已知向量B→A=???12, 23???,B→C=??? 23,12???,

则∠ABC=( )

A.30° B.45°

C.60°

D.120°

解析:由题意,得 cos ∠ABC=|BB→→AA|·|BB→→CC|=12× 213×+123×12=

23.所以∠ABC=30°.故选 A.

答案:A

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【规律方法】(1)*面向量 a 与 b 的数量积为 a·b=??a????b??cos θ, 其中 θ 是 a 与 b 的夹角,要注意夹角的定义和它的取值范围: 0°≤θ≤180°;(2)由向量的数量积的性质有|a|= a·a,cos θ= ??aa??·??bb??,a·b=0?a⊥b,因此,利用*面向量的数量积可以解决 与长度、角度、垂直等有关的问题.
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【互动探究】

(2015 年重庆)已知非零向量 a,b 满足|b|=4|a|,且 a⊥(2a

+b),则 a 与 b 的夹角为( C )

π

π





A.3

B.2

C. 3

D. 6

解析:由已知,可得 a·(2a+b)=0?2a2+a·b=0.设 a 与 b

的夹角为 θ,则有 2|a|2+|a|·|b|cos θ=0?cos θ=-24||aa||22=-12.又

因为 θ∈[0,π],所以 θ=23π.故选 C.

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考点 3 *面向量的模及应用 例 3:(1)(2017 年新课标Ⅰ)已知向量 a,b 的夹角为 60°,

|a|=2,|b|=1,则| a+2b |=________.

解析:方法一,|a+2b|2=|a|2+4a·b+4|b|2=4+4×2×1×

cos 60°+4=12,所以|a+2b|= 12=2 3. 方法二,利用如图 D28,可以判断出

a+2b 的模长是以 2 为边长的菱形对角线 的长度,为 2 3.

图 D28

答案:2 3

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(2)(2017 年浙江)已知向量a,b 满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|

+|a-b|的最小值是________,最大值是________.

解析:设向量 a,b 的夹角为 θ,

???a+b???= a2+2a·b+b2= 5+4cos θ,

???a-b???= a2-2a·b+b2= 5-4cos θ,

???a+b???+???a-b???= 5+4cos θ+ 5-4cos θ,

? ? ?

5+4cos θ+

5-4cos θ???2=10+2

25-16cos2θ∈

???16,20???,

所以???a+b???+???a-b???= 5+4cos θ+ 5-4cos θ∈???4,2 5???.

答案:4 2 5

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(3)(2011 年新课标)已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为θ, 有下列四个命题:
p1:|a+b|>1?θ∈???0,23π???; p2:|a+b|>1?θ∈???23π,π???; p3:|a-b|>1?θ∈???0,π3???; p4:|a-b|>1?θ∈???π3,π???.

其中的真命题是( )

A.p1,p4

B.p1,p3

C.p2,p3

D.p2,p4

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解析:由|a+b|= |a|2+|b|2+2|a||b|cos θ= 2+2cos θ>1, 得 cos θ>-12?θ∈???0,23π???;由|a-b|= |a|2+|b|2-2|a||b|cos θ=
2-2cos θ>1,得 cos θ<12?θ∈???π3,π???.故选 A. 答案:A
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(4)在*面直角坐标系中,O 为原点,A(-1,0),B(0, 3), C(3,0),动点 D 满足|C→D|=1,则|O→A+O→B+O→D|的取值范围是 ()
A.[4,6] B.[ 19-1, 19+1] C.[2 3,2 7] D.[ 7-1, 7+1]
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解析:由|C→D|=1,知点 D 是以 C 为圆心,1 为半径的圆上 的 动 点 , 设 D(x , y) , 则 (x - 3)2 + y2 = 1.| O→A + O→B + O→D | =
?x-1?2+?y+ 3?2表示点 D 到点 P(1,- 3)的距离.又|P→C|= ?3-1?2+?0+ 3?2= 7,因此 7-1≤|P→D|≤ 7+1.故选 D.
答案:D
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【规律方法】(1)求向量的模的方法:①公式法,利用|a|= a·a及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积 运算;②几何法,利用向量的几何意义,即利用向量加减法的 *行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方 法求解.
(2)求向量模的最值(范围)的方法:①代数法,把所求的模 表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解;②几何法(数 形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图 形求解.
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考点 4 *面向量的投影

例 4:(1)已知点 A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),

则向量A→B在C→D方向上的投影为( )

32 A. 2

3 15 B. 2

C.-3 2 2

D.-3

15 2

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解析:A→B=(2,1),C→D=(5,5),

∴A→B在C→D方向上的投影为A→|BC→·DC→|D=2×55+2+15×2 5=5

15

= 2

3 2 2.

答案:A

25

(2)已知向量 a=(1,-2),|b|=(a-b)·(a+2b)=1,则向量 a 在向量 b 上的投影为( )

A. 5

B.- 5

C.2

D.-2

解析:由已知,得|a|= 12+?-2?2= 5. 而(a-b)·(a+2b)=a2+a·b-2b2=1,所以 a·b=-2.所以

cos〈a,b〉=|aa|·|bb|= -5×21=-2 5 5.所以向量 a 在向量 b 上的

投影为

5·??-2
?

5

5??=-2.故选
?

D.

答案:D

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易错、易混、易漏 ⊙向量中错误使用充要条件造成问题解答不全 例题:已知向量 a=(m-2,m+3),b=(2m+1,m-2). (1)若向量 a 与 b 的夹角为直角,求实数 m 的值; (2)若向量 a 与 b 的夹角为钝角,求实数 m 的取值范围. 正解:(1)若 a 与 b 的夹角为直角,则 a·b=0. 即(m-2)(2m+1)+(m+3)(m-2)=0. ∴m=-43或 m=2.
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(2)若向量 a 与 b 的夹角为钝角, 则 a·b<0,且 a 与 b 不共线. ∴(m-2)(2m+1)+(m+3)(m-2)<0, 且(m-2)(m-2)-(m+3)(2m+1)≠0.

解得-43<m<5

52-11或5

5-11 2 <m<2.

∴实数 m 的取值范围是-43<m<5

52-11或5

5-11 2 <m<2.

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【失误与防范】两个向量 a·b<0 等价于|aa|·|bb|<0,相当于夹 角的余弦值小于零,我们知道 cosπ=-1<0,所以 a·b<0 中包 括了两个向量反向共线和夹角为钝角两种情况.同理,a·b>0 中 包括了两个向量同向共线和夹角为锐角两种情况.这两点在解题 中要特别注意.
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