2012考研高数部分经典题型解析1

发布于:2021-10-14 00:03:12

15、可否对分子、分母中的两个函数分别使用拉格朗日中值定理相除, 15、可否对分子、分母中的两个函数分别使用拉格朗日中值定理相除,得到柯西中值定理 的结论? 的结论? 设函数 f ( x ) 在闭区间 [ a , b ] 上连续( ( ab > 0) ,在 ( a, b) 内可导,试证:在 ( a, b) 内至 少有一点 ξ ,使得等式

a 1 a ? b f (a) a 1 解: a ? b f (a)

b f (b)

= f (ξ ) ? ξ f '(ξ ) , a < ξ < b 成立. f (b) f (a ) ? b a 1 1 ? b a

b af (b) ? bf (a ) = = f (b) a ?b

f (b) f (a ) ? b a = f (ξ ) ? ξ f '(ξ ) 即可. 从而,只要证明 1 1 ? b a f ( x) 1 对函数 F ( x ) = , G ( x ) = ,分别在 [ a, b] 上利用拉格朗日中值定理得到: x x f (b) f ( a ) ξ f '(ξ ) ? f (ξ ) ? = (b ? a ) , a < ξ < b , b a ξ2 1 1 1 ? = ? 2 (b ? a ) , a < ξ < b b a ξ

1) 2)

从而两式相比得到结论. 本题看似证明过程天衣无缝,但是结论是错误的.主要的原因在于 1)和 2)式中的 ξ 未 必相同,而结论中的 ξ 是同一个,所以证明是不对的.这也是拉格朗日中值定理和柯西中值 定理的不同之处. 例如:函数 f ( x ) = x 2 ,在 (0,1) 内使 f (1) ? f (0) = f '(ξ )(1 ? 0) 成立的点是 ξ = 数 g ( x ) = x 3 在 (0,1) 内使 g (1) ? g (0) = g '(ξ )(1 ? 0) 成立的点是 ξ =

1 ,函 2

f (1) ? f (0) f '(ξ ) 2 = 成立的点是 ξ = , g (1) ? g (0) g '(ξ ) 3

1 ;而公式: 3

这就更加说明了拉格朗日中值定理和柯西中值定理的不同之处. 本题的正确解法:

f ( x) 1 , G ( x ) = ,它们在区间 x x 1 [ a, b] ( ab > 0) 上连续,在 ( a, b) 内可导,且 G ( x) = ? 2 ,满足柯西中值定理条件,则 x 存在一点 ξ ,使得 f (b ) f ( a ) ? b a = f (ξ ) ? ξ f '(ξ ) 成立,从而结论得证. 1 1 ? b a ab 法 2: (拉格朗日中值定理)设辅助函数 F ( x ) = xf ( ) ,易知在 [ a , b ] 上该函数满足拉 x
法 1: (柯西中值定理)设辅助函数 F ( x ) =

F (b ) ? F ( a ) = F '(ξ ), a < ξ < b , b?a ab ab ab 而 F '( x ) = f ( ) ? f '( ) , F (b) ? F ( a ) = bf ( a ) ? af (b) x x x F (b) ? F ( a ) ab ab ab 于是 = f ( )? f '( ), a < ξ1 < b ξ1 ξ1 ξ1 b?a ab 令 ξ= ,则 a < ξ < b ,代入上式,有
格朗日中值定理条件,因此有

ξ1

a 1 a ? b f (a)

b = f (ξ ) ? ξ f '(ξ ) , a < ξ < b 成立. f (b)

16、关于不定积分的一些知识 关于不定积分的一些知识 1) 、求导数与求不定积分是互逆的.已知一个函数其导数是唯一的,但是其逆运算—— 求不定积分的结果不是唯一的.

dF ( x) = f ( x) ,而, ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C ,由于 C 的不同,导致一个函数的不定积 dx
分有很多函数,这些函数之间相差一个常数. 2) 、一个函数的不定积分和原函数是两个不同的概念. 如果 F '( x) = f ( x)或dF ( x) = f ( x)dx ,那么函数 F ( x ) 就是 f ( x ) 的在某个区间上的一 个原函数;函数 f ( x ) 的带有任意常数项的原函数称为该函数在某个区间上的不定积分,所 以一个函数 f ( x ) 的原函数为其不定积分中的一个函数,而其不定积分则是一族函数,它们 之间相差一个常数,即,

∫ f ( x)dx = F ( x) + C

3) 、如果函数 f ( x ) 在区间上连续,则该函数在该区间上存在原函数; 如果函数 f ( x ) 在区间上有第一类间断点,则该函数在该区间上不存在原函数.

?1, x > 0 ? 例如,设 f ( x ) = ?0, x = 0 ,则在任意一个包含 x = 0 在其内部的区间上,一定不存 ??1, x < 0 ?
在原函数. 这是因为,当 x ≠ 0 时 x ′ = f ( x ) ,因此当 x ≠ 0 时, f ( x ) 的一切原函数为 x + C , 而在 x = 0 处 x + C 不可导,因此在任意一个包含 x = 0 在其内部的区间上, x + C 不可以 认为是 f ( x ) 的原函数,所以在这种区间上 f ( x ) 不存在原函数. 4) 、奇偶性问题 当函数 f ( x ) 为奇函数时,则其全体原函数均为偶函数; 当函数 f ( x ) 为偶函数时,则其只有唯一一个原函数为奇函数. 5)、周期函数的原函数不一定是周期函数.如果函数 f ( x ) 是以 T 为周期函数,那么其 全体原函数也是以 T 为周期的充要条件是



T

0

f (t )dt = 0 .

6) 、如果分段函数存在原函数,则其原函数一定是连续的. 17、 17、分段函数不定积分 对于分段函数,在对其进行不定积分的时候,要注意在分别求不定积分的时候,最后 的常数要统一,从而保证原函数的连续性.

例 1:设 f ( x) = ?

?sin 2 x, x ≤ 0 ,求 f ( x ) 的原函数 F ( x ) ?ln(2 x + 1), x > 0 1 解: (1)当 x ≤ 0 时, ∫ sin 2 xdx = ? cos 2 x + C1 2 (2)当 x > 0 时,

∫ ln(2 x + 1)dx = 2 ∫ ln(2 x + 1)d (2 x + 1) = 2 [(2 x + 1) ln(2 x + 1) ? ∫
1 = [(2 x + 1) ln(2 x + 1) ? 2 x ] + C2 , 2
这时要对两个常数 C1 , C2 进行统一.

1

1

2(2 x + 1) dx ] + C2 (2 x + 1)

1 ? lim F ( x) = ? + C1 = F (0) ? 1 1 ? x →0 2 (3) 所以, C1 = C , 2 = ? + C , 取 C ? ? ? + C1 = C2 , 2 2 ? lim F ( x) = C2 = F (0) x → 0+ ?
? 1 ( x ≤ 0) ?? 2 cos 2 x + C ? F ( x) = ? ?? 1 [(2 x + 1) ln(2 x + 1) ? 2 x ] + C ? 1 ( x > 0) ? 2 ? 2

则:

18、利用换元法求解不定积分,最后的结果一定要变为原来的积分变量. 利用换元法求解不定积分,最后的结果一定要变为原来的积分变量. 利用换元法求解不定积分 例 1:求

∫ ( 2x

2

+ 1) x 2 + 1

dx

解:作积分变量变换,令 x = tan u , 则 dx = sec 2 udu , 原式 =

∫ (2 tan

sec 2 udu
2

u + 1) tan 2 u + 1

=∫

sec 2 udu (2 tan 2 u + 1) sec u

du du cos 2 udu = =∫ =∫ (2 tan 2 u + 1) cos u ∫ 2sin 2 u ( 2 sin 2 u + cos2 u ) cos u ( + 1) cos u cos 2 u
cos udu cos udu d sin u =∫ 2 =∫ 2 = arctan(sin u ) + C 2 2 2sin u + cos u sin u + 1 sin u + 1 做到这里并没有完成求解原函数的任务, 因为原积分变量为 x , 这里的最后结果不含 x , 而是含 u ,所以不能就此结束,而是要再重新换为原来的积分变量. =∫ sin u =
arctan(sin u ) + C
所以,最后的结果应为 arctan(

tan u

1 + tan 2 u x arctan( )+C tan u = x 1 + x2

) + C ,而并非是 arctan(sin u ) + C .同时这里还 1 + x2 要再次强调一下,最后的结果中常数 C 一定不能忘记.

x

19、下列两个命题是否正确? 下列两个命题是否正确? 下列两个命题是否正确 1)如果 f ( x ) 在 2)如果 f ( x ) 在

[ a, b] 上有原函数,那么 [ a, b] 上可积,那么

f ( x) 在

[ a, b] 上可积;

f ( x) 在

[ a, b] 上一定有原函数.

答:两个命题都不正确. 先讨论命题 1) ,在

[ a, b] 上有原函数的函数

f ( x ) 未必是可积的,

1 ? 2 ? x sin 2 , x ≠ 0 [ ?1,1] 内处处可导,且 x ,在 例如函数 F ( x) = ? ?0 ,x =0 ? 1 2 1 ? ?2 x sin 2 ? cos 2 , x ≠ 0 [ ?1,1] 上的原函数是 F ( x) . 但 x x x , 因此 f ( x ) 在 F '( x) = f ( x) = ? ?0 ,x = 0 ?
f ( x) 在

[ ?1,1] 上无界,所以

f ( x) 在

[ ?1,1] 上不可积.
例如符号函数 sgn x 在

再讨论命题 2) 在 ,

[ a, b] 上可积的函数不一定有原函数.

[ ?1,1]

上可积,但 x = 0 是它的第一类间断点,我们知道在某区间 I 上具有第一类间断点的函数在 该区间上原函数不存在,所以 sgn x 在

[ ?1,1] 上的原函数不存在.

20、对连续函数而言,奇函数的原函数是偶函数吗?偶函数的原函数是奇函数吗? 对连续函数而言,奇函数的原函数是偶函数吗?偶函数的原函数是奇函数吗? 对连续函数而言 答: 奇函数的原函数是偶函数,但偶函数的原函数不全是奇函数,这是因为: f ( x ) 当 连续时, F ( x) =



x

a

f (t )dt 是 f ( x ) 的一个原函数.

若 f ( ? x ) = ? f ( x ) ,则

F (?x) = ∫

?x

a a

f ( t ) dt = ? ∫ f ( ?u ) du = ∫ f ( u ) du
x x ?a ?a x x a a

= ∫ f ( u ) du + ∫ f ( u ) du = ∫ f ( u ) du = F ( x )
?a

即 F ( ? x ) = F ( x) ,从而 F ( x ) 为偶函数. 又 f ( x ) 任意一个原函数都可写成 F ( x ) + C ,而

F ( x ) + C 也是偶函数,即 f ( x ) 的所有原函数均是偶函数.
若 f ( ? x ) = f ( x ) ,有

F (?x) = ∫
a ?a

?x

a

f ( t ) dt = ? ∫ f ( ?u ) du = ? ∫ f ( u ) du
x x ?a ?a

= ? ∫ f ( u ) du ? ∫ f ( u ) du = ?2∫ f ( u ) du ? ∫ f ( u ) du = ?2∫ f ( u ) du ? F ( x )
x a x a a 0 a 0

可见并不总是奇函数.

21、应用换元法计算定积分应注意哪些问题? 应用换元法计算定积分应注意哪些问题? 应用换元法计算定积分应注意哪些问题 答: 在应用定积分的换元法时, 首先要注意选取代换的函数 x = ψ (t ) 必须在 [α , β ] 上 具有连续导数, 且有 ψ (α) = a , ψ ( β ) = b , 不满足这些条件的代换将会导致错误的结果.
?1 ?1

1 dx ?1 1 + x 2 1 1 1 1 1 1 1 1 令 x = ,可得到 ∫ dx = ? ∫ ? 2 dt = ? ∫ dt 2 ?1 1 + x ?1 ?1 1 + t 2 1 t t 1+ 2 t
例如,计算积分



1

从而,原式为 0,结果显然不正确. 产生错误的原因在于 x =

1 [ ?1,1] 在 上不连续. t

其次,应注意在换元的同时要注意换积分限,即原积分对积分变量 x 的上、下限要换成 新的积分变量 t 的上、下限. 若换元法采用的凑微分法,而没有引进新的积分变量,则不需 要换积分限.


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