2018年高中数学第三章导数应用3.1.1导数与函数的单调性课件2北师大版选修2_2

发布于:2021-10-01 05:45:19

3.1.1 导数与函数的单调性 一、复*回顾:1.基本初等函数的导数公式 (1)常函数:(C)/ ? 0, (c为常数); (2)幂函数 : (xn)/ ? nxn?1 (3)三角函数 : (sin x)? ? cos x (cos x)? ? ? sin x (4)对数函数的导数: 1 1 (ln x)? ? (log a x)? ? x x ln a (5)指数函数的导数: x x x x ? (a ) ? a ln a(a ? 0, a ? 1) (e )? ? e 2.导数的几何意义 函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意 义,就是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处 的切线的斜率. 即: k切线 ? f '( x0 ) 二、复*引入: 1.要判断 f (x) = x2 的单调性,如何进行? 2.还有没有其它方法? 如函数:f ( x) ? x3 ? 3x如何判断单调性呢? 问题 下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的 函数 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10的图象, 图(2)表示高台跳水运 动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 v(t ) ? ?9.8t ? 6.5 的图象. 运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时 间的运动状态有什么区别? ①运动员从起跳到 最高点,离水面的高度h 随时间t 的增加而增加, 即h(t)是增函数.相应 地, v(t ) ? h?(t ) ? 0. O t a b h v (1) (2) t O a b ②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的 增加而减少,即h(t)是减函数.相应地, v(t ) ? h?(t ) ? 0. 观察:下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正 负的关系. 除了上述情况还可能有其他情况吗?同学们可讨论讨 论。 三、函数单调性与导数正负的关系 在某个区间(a, b)内, f '( x ) ? 0 ? f ( x )在(a, b)内单调递增 f '( x ) ? 0 ? f ( x )在(a, b)内单调递减 f '( x ) ? 0 ? f ( x )在(a, b)内是常函数. 说明:1. 应正确理解“某个区间”的含义,它必是定义域内的某个 区间。 2. 导数 f'(x)>0 是 f(x) 单调递增的充分条件而非必要条件. 3. 充要条件如下: 定理: 设 f(x) 在区间 E 可导,则 f(x) 在区间 E 严 格单调递增的充要条件是 f'(x) >= 0 且使 f'(x) = 0 的 点不构成一个区间. 例1 已知导函数 f ?( x) 的下列信息: 当1 < x < 4 时, f ?( x) ? 0; 当 x > 4 , 或 x < 1时, f ?( x) ? 0; 当 x = 4 , 或 x = 1时, f ?( x) ? 0. 试画出函数 f ( x) 的图象的大致形状. 解: 当1 < x < 4 时, f ?( x) ? 0;可知 f ( x) 在此区间内 单调递增; 当 x > 4 , 或 x < 1时, f ?( x) ? 0, 可知 f ( x) 在此区 y 间内单调递减; 当 x = 4 , 或 x = 1时 , f ?( x) ? 0. (我们把它称为“临界点”) 综上, 函数 f ( x)图象 1 4 O 的大致形状如右图所示. 点评:1)数形结合思想、转化思想; 2)临界点为单调区间的分水岭。 x 例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间: (1) f ( x) ? x ? 3x (2) f ( x) ? x ? 2 x ? 3 解: (1) 因为 f ( x) ? x 3 ? 3x 的定义域为 ( -? , ?? ) 所以 f ?( x) ? 3x 2 ? 3 ? 3( x 2 ? 1) ? 0. 3 f ( x ) ? x ? 3x在 x ? R上单调递增. 因此, 函数 3 2 当 当 , 即 x ? 1时, 函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3单调递增; f ?( x) ? 0 2 , 即 时 , 函数 f ( x ) ? x ? 2 x ? 3单调递减. f ?( x) ? 0 x ? 1 2 (2) 因为 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 的定义域为 ( -? , ?? ) 所以 f ?( x) ? 2 x ? 2 ? 2( x ? 1). 2 单调递增区间为(-?,+?) ? 单调递增区间为(1,+?);单调递减区间为(-?,1); 例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间: 3 2 (3) f ( x ) ? sin x ? x, x ? (0, ? ) ( 4) f ( x ) ? 2 x ? 3 x ? 24 x ? 1 解: (3) 因为 f ( x) ? sin x ? x, x ? (0, ? ) , 所以 f ?( x) ? cos x ? 1 ? 0 因此, 函数 f ( x) ? sin x ? x 在 x ? (0, ? )上单调递减. 3 2 (4) 因为 f ( x) ? 2 x ? 3x ? 24 x ? 1 的定义域为 , 所以 f ?( x) ? 6 x 2 ? 6 x ? 24 ( -? , ?? ) 当 f ?( x) ? 0 , 即 x ? ?1?2 17 或x ? ?1?2 17 时, 函数 f ( x)单 调递增; 当 f ?( x) ? 0 , 即 ? 1 ? 17 ? x ? ? 1 ? 17 时,函数 f ( x)单 2 2 调递减. 点评: 1、方法:定义法和导数法,优先选择导数法。 2、导数法求单调区间的基本步骤:1)确定函数的定义域 ;2)求导函数; 3) 解 f ' ( x) ? 0 和 f ' ( x) ? 0; 4)写出单调区间。 3、单调区间不

相关推荐

最新更新

猜你喜欢